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\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\section{Beispiel}

\setcounter{equation}{81}
\renewcommand\theequation{6.\arabic{equation}}
\providecommand*\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}}

Gegeben sind die beiden Funktionen
%
\begin{align}
f(x) &= -x^2+6x-5
\intertext{und} 
g(x) &= -\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}
\end{align}

Welchen Inhalt besitzt die Fläche, die von den Graphen von $f$ und $g$ im 1.~Quadranten umschlossen wird?

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7.5,6)
  \pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray!60]{
  \psplot[linewidth=1pt]{2}{5}{x x mul neg x 6 mul add 5 sub}
  \psplot[linewidth=1pt]{5}{2}{x x mul neg 3 div x 4 mul 3 div add 5 3 div add}
  }
  \psaxes[labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(-1,-1)(7,5)[$x$,0][$y$,90]
  \psplot[linewidth=1pt]{0.75}{5.25}{x x mul neg x 6 mul add 5 sub}
  \psplot[linewidth=1pt]{0}{5.25}{x x mul neg 3 div x 4 mul 3 div add 5 3 div add}
  \rput(5,2){$\bm{f}$}
  \rput(3,2){$\bm{g}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen:
%
\begin{align}
f(x)        &= g(x)\\
-x^{2}+6x-5 &= -\frac{1}{3}x^{2}+
  \frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\\
          0 &= \frac{2}{3}x^{2}-\frac{14}{3}x+
               \frac{20}{3}\label{eq:fg}\\
          0 &= x^{2}-7x+10\label{eq:4}\\ 
          0 &= (x-2)(x-5)\\
\mathbb{L}  &= \{2;\ 5\}
\end{align}

\item Es gibt nur zwei Nullstellen, die beide im positiven Bereich liegen,
sodass die Integrationsgrenzen festliegen:
%
\begin{equation}
F=\int\limits_2^5\left(g(x)-f(x)\right)\diff x
\end{equation}
%
Die Differenz $g(x)-f(x)$ ist bereits durch Gl.~\ref{eq:fg} gegeben,
deswegen wird diese gleich berücksichtigt (dies gilt nicht für Gl.~\ref{eq:4}). Aus der Skizze ergibt sich, dass ein negativer Wert
zu erwarten ist, denn in dem Integrationsintervall ist $g(x)<f(x)$:
%
\begin{align}
F &= \int\limits_2^5\left(\frac{2}{3}x^{2}\frac{14}{3}x+\frac{20}{3}\right)\diff x\\
  &= \left[\frac{2}{9}x^{3}-\frac{14}{6}x^{2}+\frac{20}{3}x\right]_{2}^{5}\\
  &= \underbrace{{\vphantom{\left(\frac{2}{9}\right)}
     \frac{2}{9}\cdot125-\frac{14}{6}\cdot25+\frac{20}{3}
     \cdot5}}_{\textrm{obere Grenze}}\underbrace{\vphantom{%
     \left(\frac{2}{9}\right)}-}_{-}\underbrace{\left(\frac{2}{9}
     \cdot8-\frac{14}{6}\cdot4+\frac{20}{3}\cdot
     2\right)}_{\textrm{untere Grenze}}\\[10pt]
  &= \frac{500-1050+600}{18}-\frac{32-168+240}{18}\\
  &= \frac{50}{18}-\frac{104}{18}\\
  &= -\frac{54}{18} = -3
\end{align}
%
Der Flächeninhalt beträgt $3$FE!
\item Einige Überlegungen zu den Ausgangsgleichungen:\\
Wie bereits des öfteren erwähnt, kann eine Darstellung in Scheitelpunktsform
oder in Produktform sehr hilfreich sein. \\
Für $f(x)$ folgt:
%
\begin{align}
f(x) &= -x^{2}+6x-5=-\left(x^{2}-6x+5\right)\\
     &= -\left(x-1\right)\left(x-5\right)
 \end{align}
%
Damit liegen die Nullstellen fest: $\mathbb{L}=\{1;5\}$. Für die Scheitelpunktsform ergibt sich:
%
\begin{align}
f(x) &= -x^{2}+6x-5=-\left(x^{2}-6x+5\right)\\
     &= -\left(x^2-2\cdot3\cdot x+3^2-3^2+5\right)\\[-\normalbaselineskip]
     & \phantom{\mathrel{{}=-{}}(}\underbrace{\phantom{x^{2}-2\cdot3\cdot
        x+3^2}}_{\left(x-3\right)^2}\underbrace{\phantom{-3^2+5}}_{\vphantom{1^2}-4}\nonumber
\end{align}
%
und daher $SP(3;4)$. Gleiches lässt sich mit $g(x)$ erreichen:
%
\begin{align}
g(x) &= -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\\
     &= -\frac{1}{3}\left(x^{2}-4x-5\right)\\
     &= -\frac{1}{3}\left(x+1\right)\left(x-5\right)\qquad\boxed{\mathbb{L}=\{-1;5\}}\\
g(x) &= -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\\
     &= -\frac{1}{3}\left(x^{2}-4x-5\right)\\
     &= -\frac{1}{3}\left(x^{2}-2\cdot2\cdot x+2^{2}-2^{2}-5\right)\\
     &= -\frac{1}{3}\left(\left(x-2\right)^{2}-9\right)\\
     &= -\frac{1}{3}\left(x-2\right)^{2}+3\qquad\boxed{SP(2;3)}
\end{align}
%
\end{enumerate}
\end{document}
